The Project Gutenberg EBook of Ueber die Geometrie der alten Aegypter. by
Emil Weyr



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Title: Ueber die Geometrie der alten Aegypter.

Author: Emil Weyr

Release Date: March 13, 2008 [Ebook #24817]

Language: German

Character set encoding: ISO 8859-1


***START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK UEBER DIE GEOMETRIE DER ALTEN AEGYPTER.***





                                 BER DIE

                       GEOMETRIE DER ALTEN GYPTER

                            ------------------

                                 VORTRAG

                             GEHALTEN IN DER

     FEIERLICHEN SITZUNG DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN

                                    AM

                          XXIX. MAI MDCCCLXXXIV

                                   VON

                              DR. EMIL WEYR

    WIRKLICHEM MITGLIEDE DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN.

                            ------------------

                                   WIEN

                 AUS DER K. K. HOF- UND STAATSDRUCKEREI.

                  IN COMMISSION BEI KARL GEROLD'S SOHN,

        BUCHHNDLER DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN.

                                   1884






Mge mir gestattet sein, bei dem heutigen feierlichen Anlasse ein Bild zu
entrollen, welches in grossen Strichen die allgemeinen Umrisse des
Zustandes der geometrischen Wissenschaften bei den alten Aegyptern zur
Darstellung bringen soll; und mge dasselbe Wohlwollen, das, gepaart mit
einer althergebrachten Sitte, mich heute auf diesen eben so ehrenvollen
als schwierigen Platz gestellt, auch bei der Beurtheilung der folgenden
bescheidenen, weil schwachen Krften entspringenden Leistung obwalten!

So wie der Anfang aller menschlichen Kenntnisse, so ist auch der Ursprung
der Geometrie in grauestes Alterthum zu versetzen, er ist zu suchen in
jenen der Zeit nach unangebbaren Perioden der menschlichen Entwicklung, in
welchen das erste Erwachen des Selbstbewusstseins zu finden wre. Sind
doch manche geometrische Anschauungen auch dem Thiere eigen; so jene der
geraden Verbindungslinie zweier Punkte als der krzesten Entfernung; jene
des Mehr und Weniger bei Quantitten der Entfernungen, Hhen, Neigungen,
und so werden auch manche abstractere Raumanschauungen dem Menschen in
seinen ersten Entwicklungsperioden eigen geworden sein, Anschauungen,
welche durch die Mglichkeit und auf Grund der sprachlichen Bezeichnung
jene Stabilitt erhielten, die sie befhigte, als erste Fundamente der
geometrischen Kenntnisse zunchst, und der Geometrie als Wissenschaft
spter aufzutreten.

Geometrisches Denken entstand zu den verschiedensten Zeiten, an den
verschiedensten Orten. Denn berall, wo der menschliche Geist sich zu
entwickeln begann, und das menschliche Denken jene Hhe erreichte, auf
welcher Abstractionen entstehen, bildeten sich die grundlegenden
Raumbegriffe; der des Punktes, der geraden und krummen Linien, der ebenen
und krummen Flchen. Denn berall in der Natur boten sich dem erwachenden
Menschen Reprsentanten dieser Begriffe in grsserer oder geringerer
Genauigkeit dar. Whrend der Anblick der auf- und untergehenden Sonne,
sowie des vollen Mondes in sdlichen Gegenden fast tglich das Bild der
vollkommensten, der schnsten Linie, der Kreislinie vorfhrte,
stellten sich die zahllosen Sterne des Abends dem Auge als glnzende
Punkte dar, welche in ihren mannigfaltigen gegenseitigen
Lagenverhltnissen die Phantasie des Menschen bei der, von ihm beliebten
Eintheilung des Himmels in Sternbilder zur Herstellung so mancher geraden
und krummen Linien verleiten mochten. Und selbst in seiner nchsten
Umgebung fand der beobachtende Mensch geometrische Anklnge; das Gewebe
der Spinne mit seinen kreisrunden und radialen Fden, die sechseckige
Bienenzelle, die beim Fallen eines Krpers in ruhendes Wasser entstehenden
concentrischen Wellenringe, und wie vieles Andere musste, wenn auch nach
und nach, so doch mit zwingender Nothwendigkeit den Menschen zur
Beobachtung gesetzmssiger geometrischer Formen fhren.

Als Mutterland der Mathematik im Allgemeinen, und der Geometrie im
Besonderen wird Aegypten angefhrt; doch ist die Zeit lngst vorbei, wo
man sich Aegypten als einzigen Ursprungsort dieser Wissenschaften dachte,
vielmehr muss als feststehend angenommen werden, dass jedes Volk in seinem
Entwicklungsgange geometrische Anschauungen sich anzueignen schon durch
praktische Bedrfnisse gezwungen war. Die Hhe, zu welcher sich die
einzelnen Vlker in ihren mathematischen Speculationen emporzuschwingen
vermochten, hing von der Richtung des Bildungsganges, von dem Maasse des
Bedrfnisses und nicht in letzter Reihe von dem Einflsse religiser
Verhltnisse ab.

Und so mag sich zunchst jene Naturgeometrie entwickelt haben, welche
allen Vlkern zugesprochen werden muss, und auf deren Vorhandensein, weil
auf die Anwendungen ihrer freilich einfachsten Principien, Ueberreste von
Bauten berall dort hinweisen, wo wir in der Lage sind, solche beobachten
zu knnen. Die Pellasger, die vorhellenischen Ureinwohner Griechenlands,
mussten lange vor Entstehung der Philosophie geometrische Kenntnisse in
dem Maasse besessen haben, wie sie zur Auffhrung von Wasserbauten,
Dmmen, Canlen und Burgen, von denen man jetzt noch Spuren findet,
nothwendig waren.

Verfolgt man die Entwicklung der Geometrie zu ihren Quellen aufwrts, so
drfen wir nicht berrascht sein, dass man bei dem uns bekannten ltesten
Culturvolke, bei den Aegyptern, am weitesten vorzudringen vermag, und zwar
an der Hand der indirecten wie der directen Nachrichten, welche uns ber
diesen Gegenstand zugekommen sind. Leider jedoch sind die Ersteren ihrem
Inhalte und die Letzteren ihrer Zahl nach nur sprliche zu nennen.

Zahlreich sind wohl die Stellen in griechischen Philosophen und
Geschichtschreibern, welche Bezug haben auf aegyptische Geometrie, es
lsst sich jedoch nicht verkennen, dass oft die Spteren auf Frhere sich
sttzen, und wir es mglicherweise mit einer einzigen, durch Jahrhunderte
fortgefhrten Nachricht zu thun haben.

Durch *Herodot*, welcher um die Mitte des fnften vorchristlichen
Jahrhunderts (460) Aegypten bereiste, erfahren wir(1), dass die Geometrie
von Aegypten nach Griechenland verpflanzt worden sei. Etwas spter (393
v. Chr.) berichtet *Isokrates* die Thatsache(2), dass die Aegypter die
Aelteren (unter ihren Priestern) ber die wichtigsten Angelegenheiten
setzten, dagegen die Jngeren beredeten, mit Hintansetzung des Vergngens,
sich mit Astronomie, Rechenkunst und Geometrie zu beschftigen.

In *Platon*'s _Phdrus_ sagt *Sokrates*: Ich habe vernommen, zu Naukratis
in Aegypten sei einer der dortigen alten Gtter gewesen, dem auch der
Vogel geheiligt ist, den sie Isis nennen, whrend der Gott selbst den
Namen Teuth fhrt; dieser habe zuerst Zahlenlehre und Rechenkunst erfunden
und Geometrie und Astronomie(3), und einen directen Hinweis finden wir
bei *Aristoteles*, welcher in seiner _Metaphysik_ sagt:(4) Daher
entstanden auch in Aegypten die mathematischen Wissenschaften, denn hier
war den Priestern die dazu nthige Msse vergnnt.

Uebrigens schrieben sich die Aegypter neben der Erfindung der
Buchstabenschrift auch jene der meisten Wissenschaften und Knste zu,
worber *Diodor*(5), welcher etwa 70 Jahre v. Chr. G. Aegypten bereiste,
bemerkt: Die Aegypter behaupten, von ihnen sei die Erfindung der
Buchstabenschrift und die Beobachtung der Gestirne ausgegangen, ebenso
seien von ihnen die Theoreme der Geometrie und die meisten Wissenschaften
und Knste erfunden worden.

Neben diesen ganz allgemein gehaltenen Angaben sind hauptschlich
diejenigen Berichte zu erwhnen, welche sich auf die Art der
wissenschaftlichen Leistungen der Aegypter beziehen.

Da sagt zunchst *Herodot*(6) in Hinsicht auf die unter dem Knige
*Sesostris* durchgefhrte Lndereintheilung: Auch sagten sie, dass dieser
Knig das Land unter alle Aegypter so vertheilt habe, dass er jedem ein
gleich grosses Viereck gegeben, und von diesem seine Einknfte bezogen
habe, indem er eine jhrlich zu entrichtende Steuer auflegte. Wem aber der
Fluss (Nil) von seinem Theile etwas wegriss, der musste zu ihm kommen und
das Geschehene anzeigen; er schickte dann die Aufseher, die auszumessen
hatten, um wie viel das Landstck kleiner geworden war, damit der Inhaber
von dem brigen nach Verhltniss der aufgelegten Abgaben steure. Hieraus
erscheint mir die Geometrie entstanden zu sein, die von da nach Hellas
kam.

Die, *Herodot*, dem Vater der Geschichtsschreibung folgenden
Berichterstatter hielten sich nun, vielleicht erklrlicherweise,
vorzglich an den einen, die Nilberschwemmungen betreffenden Theil obiger
Nachricht, und wurde, gewiss Unberechtigtermassen der Nil als der
unmittelbare Anstoss fr alle geometrischen Arbeiten der Aegypter
hingestellt. Und doch scheint es uns viel nherliegend, die einerseits
behufs der Steuerbemessung und Controle, anderseits wegen der aus den
Vernderungen im Besitzstande sich nothwendig ergebenden
Flchenfestsetzungen als den Hauptbeweggrund jener Vermessungen zu
erkennen, wobei die gesammelten Erfahrungen gewiss auch bei der
Beurtheilung der unzweifelhaft nach den periodisch eintretenden
Nilberschwemmungen vorgekommenen Terrainvernderungen mit Vortheil
benutzt worden sein mgen.

Unverkennbar ist der Zug nach Aufbauschung und Ausschmckung des, jene
Nilberschwemmungen betreffenden Theiles des *Herodot*'schen Berichtes,
wenn man die Aufzeichnungen spterer Gewhrsmnner nher betrachtet.

Zunchst finden wir bei *Heron* dem Aelteren die folgende diesbezgliche
Stelle(7): Die frheste Geometrie beschftigte sich, wie uns die alte
Ueberlieferung lehrt, mit der Messung und Vertheilung der Lndereien,
woher sie Feldmessung genannt wurde. Der Gedanke einer Messung nmlich
ward den Aegyptern an die Hand gegeben durch die Ueberschwemmungen des
Nil. Denn viele Grundstcke, die vor der Flussschwelle offen dalagen,
verschwanden beim Steigen des Flusses und kamen erst nach dem Sinken
desselben zum Vorschein, und es war nicht immer mglich, ber die
Identitt derselben zu entscheiden. Dadurch kamen die Aegypter auf den
Gedanken einer solchen Messung des vom Nil blossgelegten Landes.

Weiter finden wir bei *Diodor*(8) einen Ausspruch, durch welchen wir
brigens auch ber andere wissenschaftliche Leistungen der Aegypter
belehrt werden; *Diodor* sagt: Die Priester lehren ihre Shne zweierlei
Schrift, die sogenannte heilige, und die, welche man gewhnlich lernt. Mit
Geometrie und Arithmetik beschftigen sie sich eifrig. Denn indem der
Fluss jhrlich das Land vielfach verndert, veranlasst er viele und
mannigfache Streitigkeiten ber die Grenzen zwischen den Nachbarn; diese
knnen nun nicht leicht ausgeglichen werden, wenn nicht ein Geometer den
wahren Sachverhalt durch directe Messung ermittelt. Die Arithmetik dient
ihnen in Haushaltungsangelegenheiten und bei den Lehrstzen der Geometrie;
auch ist sie denen von nicht geringem Vortheile, die sich mit Sternkunde
beschftigen. Denn wenn bei irgend einem Volke die Stellungen und
Bewegungen der Gestirne sorgfltig beobachtet worden sind, so ist es bei
den Aegyptern geschehen; sie verwahren Aufzeichnungen der einzelnen
Beobachtungen seit einer unglaublich langen Beihe von Jahren, da bei ihnen
seit alten Zeiten her die grsste Sorgfalt hierauf verwendet worden ist.
Die Bewegungen und Umlaufszeiten sowie die Stillstnde der Planeten, auch
den Einfluss eines jeden auf die Entstehung lebender Wesen und alle ihre
guten und schdlichen Einwirkungen haben sie sehr sorgfltig beobachtet.

Am innigsten verknpft erscheint die Geometrie der Aegypter mit den
Ueberschwemmungen des Nil bei *Strabon*(9); welcher bemerkt, dass es
einer sorgfltigen und bis auf das Genaueste gehenden Eintheilung
bedurfte, wegen der bestndigen Verwstung der Grenzen, die der Nil bei
seinen Ueberschwemmungen veranlasst, indem er Land wegnimmt und zusetzt,
und die Gestalt verndert, und die anderen Zeichen unkenntlich macht,
wodurch das fremde und eigene Besitzthum unterschieden wird. Man msse
daher immer und immer wieder messen. Hieraus soll die Geometrie entstanden
sein.

Den gesellschaftlichen Einrichtungen der Aegypter entsprechend, muss als
feststehend angenommen werden, dass sich eine Kaste, nach eben Gehrtem
die der Priester, mit dem wissenschaftlichen Theile der Geometrie
beschftigte, whrend eine andere, die der Feldmesser, die von den
Ersteren aufgestellten und sorgsam gehteten geometrischen Principien
praktisch zur Anwendung brachte. Dabei wurden, wie wir spter sehen
werden, die Geheimnisse der Priester, insoweit sie geometrische Wahrheiten
und Berechnungsregeln betrafen, mglicherweise nur insoweit enthllt, dass
bei deren Verwendung nur annherungsweise richtige Resultate zum Vorschein
kamen.

Wohl sind einige Schriftsteller so weit gegangen, dass sie, die
unlugbaren Uebertreibungen des Zusammenhanges zwischen den
Nilberschwemmungen und der gyptischen Geometrie im Auge behaltend, die
Existenz der letzteren einfach negirten, und alle die citirten Aussprche
in das Gebiet der Fabel verwiesen.

Was macht man jedoch dann mit den wohlbeglaubigten Nachrichten ber die
Reisen, welche hervorragende griechische Philosophen nach Aegypten
unternahmen, oft jahrelang dort verweilend, um sich in die Geheimnisse
aegyptischer Priester einweihen und mit deren geometrischem Wissen
vertraut machen zu lassen?

*Eudemus von Rhodos*(10), einer der ltesten Peripatetiker, schrieb eine
Geschichte der Mathematik, aus welcher uns durch *Proklos Diadochus*(11),
einen Philosophen des fnften nachchristlichen Jahrhunderts, ein
Bruchstck erhalten ist, welches sozusagen das einzige Mittel bildet, das
uns einen Einblick in die geometrischen Errungenschaften der Griechen in
den ersten dritthalb Jahrhunderten nach *Thales* gewhrt. Hierin heisst es
unter Anderem: *Thales*, der nach Aegypten ging, brachte zuerst die
Geometrie nach Hellas hinber und Vieles entdeckte er selbst, von Vielem
aber berlieferte er die Anfnge seinen Nachfolgern; das Eine machte er
allgemeiner, das Andere mehr sinnlich fassbar. Hundert Jahre nach dem
Tode des *Pythagoras* berichtet der Redner *Isokrates*(12): Man knnte,
wenn man nicht eilen wollte, viel Bewunderungswrdiges von der Heiligkeit
aegyptischer Priester anfhren, welche ich weder allein noch zuerst
erkannt habe, sondern viele der jetzt Lebenden und der Frheren, unter
denen auch *Pythagoras* der Samier ist, der nach Aegypten kam und ihr
Schler wurde und die fremde Philosophie zuerst zu den Griechen
verpflanzte.

Whrend der Aufenthalt des *Pythagoras* in Aegypten unter Anderen auch
noch von *Strabon*(13) und *Antiphon*(14) besttiget wird, nennt uns
*Diodor*(15) eine ganze Reihe von Namen, indem er sagt; Die aegyptischen
Priester nennen unter den Fremden, welche nach den Verzeichnissen in den
heiligen Bchern vormals zu ihnen gekommen seien, den *Orpheus*,
*Musaios*, *Melampus* und *Daidalos*, nach diesen den Dichter *Homer*, den
Spartaner *Lykurgos*, ingleichen den Athener *Solon* und den Philosophen
*Platon*. Gekommen sei zu ihnen auch der Samier *Pythagoras* und der
Mathematiker *Eudoxos*, ingleichen *Demokritos von Abdera* und *Oinopides
von Chios*. Von allen diesen weisen sie noch Spuren auf, von den Einen
Bildnisse von den Anderen Orte und Gebude, die nach ihnen benannt sind.
Aus der Vergleichung dessen, was jeder von ihnen in seinem Fache geleistet
hat, fhren sie den Beweis, dass sie Dasjenige um desswillen sie von den
Hellenen bewundert werden, aus Aegypten entlehnt haben. Aus diesen
Stellen geht mit Sicherheit hervor, dass viele Griechen nach Aegypten
zogen, um bei den dortigen Priestern Philosophie und Mathematik kennen zu
lernen, da wohl in den Berichten nur die hervorragenden Mnner angefhrt
wurden.

Der Milesier *Thales*, welcher erst in vorgercktem Alter, und nachdem er
als Handelsmann frher gewiss schon mehrmals Aegypten besucht gehabt, sich
daselbst behufs seiner Studien zu lngerem Aufenthalt niederlies, ist
merkwrdiger Weise in dem Berichte des Diodor nicht angefhrt, und knnte
man wohl aus diesem Umstande umsomehr einen gewissen Grad von
Unglaublichkeit ableiten, als darin mythische Namen wie *Orpheus*,
*Daidalos* und *Homer* angefhrt erscheinen. Diese letzteren konnten
jedoch sehr wohl dem im Ganzen und Grossen sonst richtigen Verzeichnisse
vom Berichterstatter eigenwillig beigefgt worden sein, um dadurch das
hohe Alter aegyptischer Wissenschaft in ein vorteilhaftes Licht zu setzen.

Abgesehen jedoch von aller Wahrscheinlichkeit oder Unwahrscheinlichkeit
fr die Exactheit obiger Aussprche in Bezug auf einzelne Namen, drfte
jedenfalls das als unumstssliche Wahrheit gelten, dass die gyptischen
Priester von den Griechen als in den Wissenschaften, insbesondere in der
Geometrie sehr bewandert gehalten wurden, und zwar in einem solchen
Maasse, dass eine Reihe hervorragender griechischer Philosophen es nicht
verschmhte, die, fr damalige Verhltnisse nicht unbedeutende Reise nach
Aegypten zu unternehmen, ja oft jahrelang in diesem Lande mit unbekannter
Sprache und Schrift zu verweilen, um sich die Kenntnisse der Aegypter
anzueignen.

Stellt man nun zunchst die Frage nach Quantitt und Qualitt des
geometrischen Wissens, welches die Griechen von ihren Studienreisen mit
nach Hause brachten, so scheint dies, selbst vom Standpunkte der
unmittelbar nachpythagorischen Geometrie, usserst Weniges gewesen zu
sein.

*Thales* von Milet, einer der sieben griechischen Weltweisen, der
Begrnder der ionischen Schule, *Thales*, welcher fr das Jahr 585
v. Chr. G. eine, auch eingetroffene Sonnenfinsterniss vorherzusagen
wusste, soll, den uns von *Proklos* zugekommenen Berichten zufolge, in
Aegypten nicht viel mehr erfahren haben, als die Stze ber die Gleichheit
der Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreieckes, die Gleichheit
der Scheitelwinkel am Durchschnitt zweier Geraden; er wusste ferner, wie
ein Dreieck durch eine Seite und die beiden anliegenden Winkel bestimmt
erscheint, diese Errterung zur Messung der Entfernungen von Schiffen auf
dem Meere bentzend, es war ihm bekannt, dass ein Kreis durch einen
Durchmesser halbirt wird,(16) und soll er die Hhe der Pyramiden aus der
Lnge des Schattens gemessen haben, hchst wahrscheinlich in dem Momente,
wo die Schattenlnge eines senkrechten Stabes der Stablnge gleich
ist,(17) mglicherweise jedoch, wie *Plutarch*(18) berichtet, auch zu
einer beliebigen Tageszeit. Auch wird ihm von *Pamphile*(19) die Kenntniss
des Satzes zugeschrieben, dass der Peripheriewinkel im Halbkreise ein
rechter sei. Gewiss hat Thales wenigstens jene geometrischen Fundamente in
Aegypten kennen gelernt, welche es ihm ermglichten, die genannten Stze
als wahr zu erkennen, wenn auch bei ihm, selbst bei diesen einfachen
Dingen an einen strengen Beweis nicht gedacht werden kann.

Es wre jedoch voreilig, aus der Geringfgigkeit der Thaletischen
geometrischen Kenntnisse mit *Montucla* (20) zu schliessen, dass auch die
Aegypter nicht viel mehr gewusst htten. Man kann wohl annehmen, dass die
aegyptischen Priester bei ihrer den Fremden gegenber beobachteten
Zurckhaltung nur einen Theil ihres Wissens offenbarten; wer knnte jedoch
bemessen, in welchem Verhltnisse dieser Theil zu ihrem Gesammtwissen
stand? Der Ansicht *Montucla*'s kann man entgegensetzen, dass die Aegypter
den Fremden nur einen kleinen Bruchtheil ihres sorgsam im Verborgenen
gehteten Wissens preisgegeben haben mochten, wobei ferner nicht
unbercksichtigt bleiben darf, dass den nach Aegypten gekommenen Griechen
auch die Unkenntniss der Sprache und der Schrift weitere, nicht zu
unterschtzende Schwierigkeiten bereitete, in dem Maasse als vielleicht
Manches, was ihnen die aegyptischen Priester von aegyptischem Wissen zur
Verfgung stellten, unverstanden bleiben konnte.

Was nun das Wesen aegyptischer Geometrie betrifft, so finden wir in den
Berichten der Alten fast gar keine Anhaltspunkte, um uns hierber Klarheit
verschaffen zu knnen, und war man bis vor Kurzem darauf hingewiesen, aus
den Anfngen griechischer Mathematik auf den Stand der aegyptischen
zurckzuschliessen, was, wie aus dem Vorhergesagten folgen drfte, mit
nicht geringen Schwierigkeiten verbunden erscheint.

Die Ansicht, dass die Geometrie der Aegypter eigentlich nur constructiver
Natur war, hnlich dem was wir als Reisskunst zu bezeichnen pflegen,(21)
drfte sich nicht als stichhltig erweisen; es mge jedoch gleich jetzt
darauf hingedeutet werden, dass die Aegypter im Construiren geometrischer
Formen nicht unbewandert sein konnten.

So sagt in etwas prahlerischer Weise *Demokritos* von *Abdera*(22) um 420
v. Chr. G.: Im Construiren von Linien nach Maassgabe der aus den
Voraussetzungen zu ziehenden Schlsse hat mich keiner je bertroffen,
selbst nicht die sogenannten Harpedonapten der Aegypter; und *Theon* von
*Smyrna*(23) erzhlt, dass Babylonier, Chalder und Aegypter eifrig nach
allerhand Grundgesetzen und Hypothesen suchten, durch welche den
Erscheinungen gengt werden knnte; zu erreichen suchten sie dies dadurch,
dass sie das frher Gefundene in Ueberlegung zogen, und ber die
zuknftigen Erscheinungen Vermuthungen aufstellten, wobei die Einen sich
arithmetischer Methoden bedienten, wie die Chalder, die Anderen
construirender wie die Aegypter.

Aus diesen und hnlichen Berichten, sowie aus dem Umstande, dass die
Anfnge der griechischen Geometrie selbst hauptschlich constructiver
Natur waren, muss man zu dem Schlusse kommen, dass die alten Aegypter seit
unvordenklichen Zeiten die Reisskunst pflegten, und in der langen Reihe
der Jahrhunderte sicherlich eine ziemlich bedeutende Masse sowohl
einfacher als complicirterer Constructionen erfanden und in ein gewisses
System brachten, von Ersteren zu Letzteren aufsteigend. Diese
Constructionen drften ihrem grsseren Theile nach, und zwar jenem Theile
nach, welcher, wenn auch ohne Begrndung Gemeingut der die Knste und
Gewerbe betreibenden Kasten wurde, nur solche gewesen sein, die dem
praktischen Bedrfnisse dienen konnten, also zumeist
Ornamentenconstructionen. Wir bemerken hier unter Anderem das Vorkommen
regelmssiger geometrischer Figuren auf uralten Wandgemlden, wie sie sich
z. B. als frbige Zeichnungen aus den Zeiten der fnften Dynastie, also
unmittelbar nach den Erbauern der Pyramiden, das ist 3400 Jahre v. Chr. G.
etwa vorfinden.(24)

Man sieht unter der grossen Menge der in dieser Zeit vorkommenden Figuren
eine, aus verschobenen, ineinander gezeichneten, theilweise durch zu einer
Diagonale Parallele zerlegten Quadraten zusammengesetzte Figur, ferner aus
der Zeit von der zwlften bis zur sechsundzwanzigsten Dynastie, eine
Figur, bestehend aus einem Quadrate, und zwei, lngs der Diagonale
centrisch hineingelegten lemniscatischen Curven, sowie eine
Zusammenstellung von um fnfundvierzig Grade gegeneinander verdrehten,
sich durchsetzenden Quadraten. Kreise erscheinen durch ihre Durchmesser in
gleiche Kreisausschnitte getheilt; so zunchst durch zwei oder vier
Durchmesser in vier beziehungsweise acht, und in spteren Zeiten auch
durch sechs Durchmesser in zwlf gleiche Ausschnitte; die in den
Zeichnungen vorkommenden Wagenrder besitzen zumeist sechs, seltener vier
Speichen, so dass auch die Theilung des Kreises durch drei Diameter in
sechs gleiche Kreisausschnitte vertreten erscheint.

In einer unvollendet gebliebenen Kammer des Grabes *Seti I.*, des Vater
*Ramses II.* aus der neunzehnten Dynastie (das sogenannte Grab
*Belzoni*)(25) finden wir die Wnde behufs Anbringung von Reliefarbeiten
mit einem Netze gleich grosser Quadrate bedeckt, und es kann keinem
Zweifel unterliegen, dass wir es hier mit der Anwendung eines
Verkleinerungs- beziehungsweise Vergrsserungsmaassstabes zu thun haben.

Wenn nun auch die einfachen Figuren des Dreieckes, Quadrates und des
Kreises hchst wahrscheinlich ohne besondere Ueberlegung, einfach dem
inneren geometrischen Formendrange entsprungen sein drften, so ist doch
gewiss, dass ihre verschiedenartige Zusammensetzung zu Mustern das
Product, wenn auch primitiven geometrischen Denkens war, welches dann
schon eine ziemliche Selbststndigkeit erreicht haben musste, als die
vorerwhnte Anwendung von Proportionalmaassstben in Uebung kam.

Andererseits musste das ftere Betrachten der regelmssigen Figuren einen
geometrisch disponirten Geist von selbst zum Aufsuchen unbekannter
Eigenschaften derselben reizen, und vielleicht ist der Thaletische Satz
von der Halbirung des Kreises durch einen Durchmesser nichts als eine aus
der Betrachtung jener aegyptischen Zeichnungen gewonnene Abstraction, und
huldigen wir in dieser Beziehung der Ansicht, dass *Thales* beim
Ausspruche des erwhnten, fr uns freilich hchst einfach klingenden
Satzes, wahrscheinlich sagen wollte, nur der Kreis habe die ausgezeichnete
Eigenschaft, von allen durch einen Punkt, den Mittelpunkt, gehenden
Geraden in lauter untereinander gleiche Hlften getheilt zu werden.

Von besonderer Wichtigkeit scheint uns jedoch der frher citirte
selbstgefllige Ausspruch des *Demokritos* zu sein, da er uns vor einer
ungerechtfertigten Unterschtzung aegyptischer Constructionsgewandtheit
bewahren kann. Bedenklich in *Demokritos*' Angabe knnte allenfalls jenes
Selbstlob erscheinen, das er sich spendet; wenn es nun wohl auch schon im
Alterthume Mnner geben mochte, die ihre Berhmtheit vorzugsweise und oft
nur der Hochschtzung verdankten, die sie sich selbst und ihren Werken
gezollt, Mnner, welche in der Verbreitung des eigenen Lobes so emsig, so
unermdlich waren, dass sich um sie als die davon Ueberzeugtesten noch ein
Kreis von Glubigen bildete, welche den, oft nur auf schwankenden Fssen
einhergehenden Ruhm ihrer Profeten weiter fhrten, so ist doch die
Bedeudung des Geometers *Demokritos* durch so viele, und verschiedenen
Quellen entspringende Aussprche beglaubigt, dass es gewiss Niemandem
einfallen wird, seine Autoritt als die eines grndlichen Kenners der
Geometrie seiner Zeit in Zweifel zu ziehen. Wohl sind uns von den
geometrischen Werken des *Demokritos*, und kaum von allen nur die ganz
allgemein klingenden Titel erhalten.

Whrend uns *Cicero*(26) diesen Philosophen als einen gelehrten, in der
Geometrie vollkommen bewanderten Mann anpreist, theilt uns *Diogenes
Laertius*(27) mit, dass *Demokritos* ber Geometrie, ber Zahlen,
ber den Unterschied des Gnomon oder ber die Berhrung des Kreises und
der Kugel, sowie zwei Bcher ber irrationale Linien und die dichten
Dinge geschrieben habe, Schriften, deren Titel theilweise uns ber ihren
Inhalt ganz im Unklaren lassen. Legen wir den angefhrten Zeugnissen
Glauben bei, und es ist kein Grund vorhanden dies nicht zu thuh, so mssen
wir von *Demokritos* als von einem in der Geometrie vollkommenen Manne
voraussetzen, dass er mit den Errungenschaften des *Pythagoras*, welcher
ein Jahrhundert vor *Demokritos* Aegypten besucht hatte, vollkommen
vertraut war. Gewiss war ihm somit bekannt: die Methode der Anlegung der
Flchen, welche wieder die Vertrautheit mit den Hauptstzen aus der
Theorie der Parallelen und der Winkel, so wie die Kenntniss der
Abhngigkeit der Flcheninhalte von den ihnen zukommenden Ausmaassen
voraussetzt. Nicht minder bekannt mussten ihm die, dem *Pythagoras*
zugeschriebenen Constructionen der fnf regelmssigen, sogenannten
kosmischen Krper sein, woraus sich weiter schliessen lsst, dass auch
einerseits die Eigenschaften der Kugel, welcher doch jene Krper
eingeschrieben wurden, und anderseits die Entstehungen der regelmssigen,
jene Krper begrenzenden Vielecke, vor Allem die des Fnfeckes dem
*Demokritos* nicht ungelufig sein konnten. Die Construction des Letzteren
erheischt wiederum die Kenntniss der Lehre vom goldenen Schnitt, und diese
den Satz vom Quadrate der Hypothenuse(28). Hat nun *Demokritos* auch
selbst nichts Neues hinzugefgt, so musste er doch Jenes kennen; wenn er
nun anderseits sagt: im Construiren htte ihn Niemand, selbst nicht die
Harpedonapten der Aegypter bertroffen, so drfen wir hieraus mit
Sicherheit schliessen, dass die geometrischen Kenntnisse der aegyptischen
Priester bedeutend genug gewesen sein mussten, weil sich *Demokritos*
sonst kaum gerade ber diese Geometer gesetzt htte.

Doch verlassen wir fr jetzt die Nachrichten des griechischen Alterthums,
welche in der Beurtheilung aegyptischer Geometrie nur Conjecturen
zulassen, und blicken wir nach directen Denkmalen aegyptischen Ursprungs,
aus denen vielleicht Schlsse gezogen werden knnten auf Wesen und Umfang
aegyptischer Geometrie.

Das Britische Museum bewahrt eine Papyrusrolle, welche aus dem Nachlasse
des Englnders *A. Henry Rhind* stammt, die derselbe nebst anderen
werthvollen Rollen in Aegypten kufllich an sich gebracht haben drfte.
Der erwhnte Papyrus, ein altes Denkmal gyptischer Mathematik, ist, wie
es scheint, nicht mit vollster Berechtigung als ein mathematisches
Handbuch der alten Aegypter bezeichnet worden(29). Der fragliche Papyrus
nennt sich selbst eine Nachahmung lterer mathematischer Schriften, denn
es heisst in der Einleitung: Verfasst wurde diese Schrift im Jahre
dreiunddreissig im vierten Monat der Wasserzeit unter Knig Ra-a-us, Leben
gebend nach dem Muster alter Schriften in den Zeiten des Knigs ...t vom
Schreiber Aahmes verfasst die Schrift.

Nachdem zuerst Dr. *Birch*(30) auf diesen mathematischen Papyrus durch
einen kurzen vorlufigen Bericht aufmerksam gemacht hatte, wurde der
Gegenstand von dem ausgezeichneten Heidelberger Aegyptologen Dr.
*Eisenlohr* einer eingehenden, hchst schwierigen und zeitraubenden
Untersuchung unterzogen, deren Resultate, was die Uebersetzung betrifft,
unseren gegenwrtigen Betrachtungen zu Grunde liegen. Bezglich des Alters
des Papyrus hat man jenes der vorhandenen Abschrift von dem Alter des
unbekannten Originals zu unterscheiden. Nach der von *Eisenlohr* gegebenen
Vervollstndigung der in der erwhnten Einleitung auf das Wort Knig
folgenden Lcke, wrde der Herrscher, unter dessen Regierung das Original
entstanden ist, der Knig *Ra-en-mat* sein, dessen Regierungszeit
*Lepsius*(31) auf 2221--2179 v. Chr. G. legt. Da ferner der Name *Ra-a-us*
in den bis dahin vorhandenen Knigslisten nicht vorkommt, sah man sich, um
die Zeit der Entstehung der Abschrift wenigstens annhernd angeben zu
knnen, darauf angewiesen, aus der bekannten Sitte der Aegypter die
Eigennamen der eben herrschenden oder der unmittelbar vorhergegangenen
Regenten zu gebrauchen, Schlsse zu ziehen. Und da liess der Name *Aahmes*
des Schreibers, sowie auch die (althieratische) Schrift des Papyrus
vermuthen, dass derselbe um 1700 v. Chr. G. entstanden sein drfte. Die
Vermuthung in Bezug auf das Zeitalter der Abschrift hat sich nun neueren
Forschungen zu Folge vollkommen besttigt. Denn *Ra-a-us* wurde als der
Hyksosknig *Apophis* erkannt, und *Aahmes* drfte seinen Namen von dem,
kurze Zeit dem Apophis vorhergegangenen Knige *Amasis* entlehnt haben.

Es erscheint so vollkommen sichergestellt, dass unser Papyrus aus dem
achtzehnten Jahrhundert v. Chr. G. stammt. Die Eingangsworte des Papyrus,
welche lauten: Vorschrift zu gelangen zur Kenntniss aller dunklen Dinge,
aller Geheimnisse, welche enthalten sind in den Gegenstnden, sowie die
Anordnung des Stoffes in Arithmetik, Planimetrie und Stereometrie, an
welche sich ein, verschiedene Beispiele enthaltender Theil anschliesst,
konnten im ersten Augenblicke den Gedanken aufkommen lassen, dass wir es
vielleicht mit einem Lehrbuche der Mathematik zu thun haben. Der Umstand
jedoch, dass der Papyrus nur die Zusammenstellung, allerdings eine in
gewissem Grade systematische Zusammenstellung von Aufgaben nebst ihren
Lsungen und den zugehrigen Proben ist, ohne dass Definitionen oder
Lehrstze und Beweise vorkommen wrden, liess den Papyrus wiederum als
eine Aufgabensammlung, als ein Anleitungsbuch fr Praktiker erscheinen.
Man ist noch weiter gegangen, und stellte die Ansicht auf, der Autor habe
bei Abfassung dieser Schrift vorzglich an Landleute, welchen die Theorie
unzugnglich war, gedacht. Daraufhin weise nicht nur die Formulirung des
grssten Theiles der Aufgaben, welche Verhltnisse und Bedrfnisse der
Landwirthschaft bercksichtigen, sondern auch der Schlusssatz des Papyrus,
welcher sagt: Fange das Ungeziefer und die Muse, (vertilge) das
verschiedenartige Unkraut, bitte Gott *Ra* um Wrme, Wind und hohes
Wasser.

Dass wir es nicht mit einem Handbuche, welches dem damaligen Standpunkte
der mathematischen Wissenschaften in Aegypten entsprechen msste, zu thun
haben, ergibt sich nicht nur aus dem schon hervorgehobenen Mangel an
Definitionen, Lehrstzen und Beweisen, ja es fehlt selbst jede Erklrung,
sondern auch aus dem Umstnde, dass neben der richtigen Lsung einzelner
Aufgaben die unrichtigen oder unvollendeten Lsungen derselben oder
hnlicher Aufgaben, sowie manche Wiederholungen vorkommen. Nur nebenbei
verweisen wir darauf, dass in einem Handbuche unzweifelhaft wenigstens
Anklnge an die erste der Wissenschaften des Alterthums, an die
Astronomie, zu finden sein mssten. Doch ist von diesem Theile der
Mathematik im Papyrus nicht die geringste Spur zu finden. Aufklrungen
ber den wahren Charakter des Originals unseres Papyrus, und eine viele
Wahrscheinlichkeit besitzende Vermuthung ber die Entstehung der uns
beschftigenden Abschrift, verdanken wir dem Scharfsinne des franzsischen
Aegyptologen Eugne *Revillout*.(32)

Bei richtiger Erwgung des Umstandes, dass oft auf ein fehlerlos gelstes
Beispiel, falsche Lsungen hnlicher Beispiele folgen, welchen sich dann
gewhnlich eine Reihe von Uebungsrechnungen anschliesst, Rechnungen die
einem Schulpensum in hohem Grade hnlich sehen, bei Betrachtung der
Thatsache ferner, wie ein und dasselbe Zahlenbeispiel oft einigemal und
zwar so behandelt wird, dass der Reihe nach die vorkommenden Zahlenwerthe
als die berechneten Resultate erscheinen, drngt sich uns mit *Eugne
Revillout* die Ueberzeugung auf, dass wir es mit dem Uebungs- oder
Aufgabenhefte eines Zglings jener Unterrichtshuser (asbo) zu thun
haben, wie deren in so manchem Papyrus Erwhnung geschieht, und in denen
die Schler, welche spter Landwirthe, Verwalter, Feldmesser oder
Constructeure werden wollten, mit den fr ihre knftige Laufbahn
notwendigen Rechnungsoperationen vertraut gemacht wurden. Da dieses
Schulheft selbstverstndlich nicht fr die Oeffentlichkeit bestimmt sein
konnte, so trgt es auch thatschlich keinen Autornamen und keine
Jahresangabe; denn, was die in der Einleitung bezglich der Zeitperiode,
in welcher das Original entstanden sein sollte, gemachte Erwhnung
betrifft, so ist mehr als wahrscheinlich, dass dieselbe von dem
Abschreiber *Aahmes* herrhrt, welcher das Original einige Jahrhunderte
nach seiner Entstehung auffand, und dasselbe, der Mathematik gewiss ganz
unkundig, sammt allen Fehlern abschrieb, zu diesen noch neue hinzufgend.
Nachdem *Aahmes* aus der Aehnlichkeit der Schriftart des mathematischen
Heftes mit der Schrift anderer ihm bekannten Papyri auf das Alter des
ersteren einen im Ganzen und Grossen nicht unrichtigen Schluss gezogen
haben mochte, so knnen wir das Ende, vielleicht auch die Mitte des
dritten Jahrtausends v. Chr. G. als jene Zeit betrachten, in welcher das
Original der Abschrift entstanden sein drfte. Ob *Aahmes* die Abschrift
mit der viel versprechenden Einleitung und der zugleich praktischen und
gottesfrchtigen Schlussregel in der Absicht versehen hatte, um sie an
irgend einen einfachen aegyptischen Landmann um gutes Geld anzubringen,
lassen wir dahingestellt, und wiederholen nur unsere Uebereinstimmung mit
der Ansicht, dass das Original des Papyrus neben den von einem Lehrer der
Mathematik herrhrenden Musterbeispielen, die sehr oft verunglckten
Uebungen eines Schlers enthlt, eines Schlers berdies, der nicht zu den
hervorragenden seiner Glasse gehrt haben mochte. Und wie kostbar ist
dennoch dieses altgyptische Schulheft! Wenn wir in aller Eile eine Skizze
seines Inhaltes vorfhren sollen, so mssen wir zunchst die sich auf acht
Columnen der oben erwhnten Einleitung anschliessende Theilung der Zahl 2
durch die Zahlen von 3 bis 99 erwhnen; jeder auftretende Bruch erscheint
in zwei bis vier sogenannte Stammbrche, Brche mit dem Zhler Eins,
zerlegt, und sind die Nenner der letzteren meist gerade Zahlen mit einer
grsseren Divisorenanzahl. Im Anschluss an diese Tabelle finden wir sechs
Beispiele, in denen in Form von Brodvertheilungen die Division der Zahlen
l, 3, 6, 7, 8 und 9 durch die Zahl 10 gelehrt wird, und es folgt hierauf
in 17 Beispielen die sogenannte Sequem- oder Ergnzungsrechnung, in
welcher es sich darum handelt, Zahlenwerthe zu finden, die mit gegebenen
Werthen durch Addition oder Multiplication verbunden, andere gegebene
Zahlenwerthe liefern. Die nchsten 15 Beispiele gehren der sogenannten
*Haurechnung* an, und finden wir in diesem Abschnitte die Lsungen
linearer Gleichungen mit einer Unbekannten. Zwei weitere, der sogenannten
*Tunnu-* oder Unterschiedsrechnung angehrige Beispiele belehren uns
darber, dass den alten Aegyptern der Begriff arithmetischer Reihen nicht
fremd war. Es folgen nun sieben Beispiele ber Volumetrie, ebensoviele
ber Geometrie und fnf Beispiele ber Berechnungen von Pyramiden, also 19
Aufgaben ber die wir spter noch einige Worte sagen mssen.

Hieran schliessen sich endlich dreiundzwanzig verschiedenen Materien
entlehnte, Fragen des brgerlichen Lebens betreffende Beispiele, wie die
Berechnung des Werthes von Schmuckgegenstnden, abermals Vertheilungen von
Broden oder von Getreide, Bestimmung des auf einen Tag entfallenden
Theiles eines Jahresertrages, Berechnungen von Arbeitslhnen,
Nahrungsmitteln sowie des Futters fr Geflgelhfe. Einer besonderen
Ankndigung werth erscheinen uns in dieser letzten Abtheilung zwei
Beispiele; das eine derselben(33) lsst keinen Zweifel darber aufkommen,
dass den alten Aegyptern die Theorie der arithmetischen Progressionen
vollkommen gelufig war, whrend wir in dem zweiten(34) unter der
Aufschrift eine Leiter die geometrische Progression von 7 hoch 1 bis 7
hoch 5 nebst deren Summe vorfinden, wobei die einzelnen Potenzen eigene
Namen: an, Katze, Maus, Gerste, Maass zu fhren scheinen.

Nicht unbemerkt lassen wir endlich die in den Haurechnungen auftretende
Bentzung mathematischer Zeichen; so nach links oder rechts
ausschreitender Beine fr Addition und Subtraction, drei horizontale
Pfeile fr Differenz, sowie endlich ein besonderes, dem unseren nicht
unhnliches Gleichheitszeichen.

Aus dem geometrischen Theile heben wir zunchst, der Anordnung des Papyrus
nicht folgend, die Flchenberechnungen von Feldern hervor. Die
vorkommenden Beispiele beziehen sich auf quadratische, rechteckige,
kreisrunde und trapezfrmige Felder, deren Flcheninhalte aus ihren
Lngenmaassen bestimmt werden. Nachdem in den Aufgaben ber die Berechnung
des Fassungsvermgens von Fruchtspeichern mit quadratischer Grundflche
diese letztere gefunden wird durch Multiplication der Maasszahl der Seite
mit sich selbst, kann es gar keinem Zweifel unterliegen, dass auch die
Flche des Rechteckes durch Multiplication der Maasszahlen zweier
zusammenstossender Seiten erhalten wurde, da die Erkenntniss der
Richtigkeit der einen Bestimmungsart, jene der Richtigkeit der anderen
involvirt.

Schon die Betrachtung solcher Proportionalmaassstbe, wie wir sie im Grabe
*Belzoni* bemerken konnten, htte die alten Aegypter, die mit Gleichungen
und arithmetischen Reihen umzugehen wussten, auf die Bestimmung der Flche
eines Rechteckes aus seinen beiden Seitenlngen mit Nothwendigkeit fhren
mssen, und werden wir uns durch den Umstand, dass im Papyrus der
diesbezglichen Aufgabe eine zu ihr nicht gehrige Lsung beigefgt ist,
durchaus nicht beirren lassen.

Von hohem Interesse ist die, an mehreren Stellen des Papyrus vorkommende
Methode der Flchenberechnung eines Kreises, welche zeigt, dass die alten
Aegypter mit ziemlicher Annherung den Kreis zu quadriren wussten, in der
That zu quadriren, weil sie aus dem Durchmesser eine Lnge ableiten,
welche als Seite ein Quadrat liefert, dessen Flche jener des Kreises
gleichgesetzt wurde. Da sie acht Neuntel des Durchmessers zur Seite jenes
Quadrates machten, so entspricht dies einem Werthe der Ludolphischen Zahl,
welcher dem richtigen Werthe gegenber um nicht ganz zwei Hundertstel (um
0,018901) zu hoch gegriffen erscheint; fr das dritte Jahrtausend
v. Chr. G. und im Vergleiche zu dem Werth pi = 3 der Babylonier, und noch
mehr im Vergleiche zu dem Werthe pi = 4 spterer rmischer Geometer,
jedenfalls eine nicht zu unterschtzende Annherung an den richtigen
Werth.

Eine Aufgabe behandelt die Flchenbestimmung des Dreieckes, wobei das
Resultat als das Product zweier Seitenlngen gefunden wird. Die hier
beigefgte Figur(35), welche in Wirklichkeit ein ungleichseitiges
langgestrecktes Dreieck darstellt, kann ebensowohl als die verfehlte
Zeichnung eines rechtwinkligen wie auch eines gleichschenkligen Dreieckes
betrachtet werden.

Letztere Annahme ist von *Eisenlohr* gemacht und von *Cantor*(36)
acceptirt worden. Darnach wrde sich die Methode der Dreiecksberechnung
der alten Aegypter nur als eine Nherungsmethode darstellen, und ist auch
von beiden genannten Gelehrten der begangene, in diesem Falle in der That
nicht bedeutende Fehler ermittelt worden.

Wir sind dagegen mit Revillout anderer Meinung.

Mit Rcksicht auf den von uns klar erkannten Charakter des Originales des
Papyrus als eines sehr ungenauen Collegienheftes, dessen Rechnungen
ebensosehr wie die vorkommenden Zeichnungen von der Mittelmssigkeit
seines Zusammenstellers beredtes Zeugniss ablegen, zweifeln wir keinen
Augenblick, dass die fragliche Figur ein rechtwinkliges Dreieck
vorzustellen hatte. Die mangelhafte Schlerzeichnung ist durch den
Copisten *Aahmes* nur noch schlechter geworden. Dass ein rechtwinkliges
Dreieck gemeint sein soll, erkennt man brigens auch aus dem Umstande,
dass in der Figur die Maasszahlen der multiplicirten Seiten bei den
Schenkeln des, vom rechten Winkel nur wenig differirenden Winkels
angesetzt sind, wo doch, wenn es sich htte um ein gleichschenkliges
Dreieck handeln sollen die Maasszahl der Schenkel in der Figur gewiss bei
beiden Schenkeln zu finden wre. Dieselben Grnde bestimmen uns zu der
Annahme, dass die im Papyrus befindliche Flchenberechnung eines Trapezes
eine vollkommen richtige ist, indem es sich auch hier nur um ein Trapez
handeln kann, dessen zwei parallelen Seiten auf einer der nicht parallelen
Seiten senkrecht stehen. Und warum sollten denn die alten Aegypter nicht
die richtige Art der Flchenberechnung auch beliebiger Dreiecke gekannt
haben?

Konnte man einmal die Flche eines Rechteckes genau bestimmen, so musste
sich durch einfache Anschauung eines, durch eine Diagonale zerlegten
Rechteckes, von selbst die Regel zur Flchenbestimmung des rechtwinkligen
Dreieckes ergeben; und wurde nun ein beliebiges schiefwinkliges Dreieck
durch ein Hhenperpendikel in zwei rechtwinklige zerlegt, so war nichts
leichter als die allgemeine Regel zur Bestimmung der Dreieckflche aus
Basis und Hhe (tepro und merit) zu entwickeln. Dass die Gewinnung des
Hhenperpendikels sowohl bei Constructionen als auch auf dem Felde den
alten Aegyptern nicht unmglich war, folgt zunchst aus der grossen
Bedeutung der Winkelmaasses (hapt) fr alle Operationen der praktischen
Geometer Aegyptens. Nicht nur, dass wir in vielen aegyptischen Documenten
das Winkelmaass erwhnt finden, sieht man auch Knige abgebildet, das
Winkelmaass in der Hand, welches von ihnen vielleicht in derselben Weise
durch symbolische Bentzung geehrt wurde, wie der Kaiser von China
alljhrlich einmal den Pflug zu fhren pflegt. Ein solches Winkelmaass
sieht man brigens auch auf einem Wandgemlde abgebildet, das eine
Schreinerwerksttte darstellt,(37) und es unterliegt keinem Zweifel, dass
dasselbe ebensowohl zur Anlegung rechter Winkel als zum Fllen von
Senkrechten bentzt worden ist. Aber auch auf freiem Felde musste den
Aegyptern die Construction rechter Winkel gelufig sein; sowohl die
Pyramiden als auch die aegyptischen Tempel sind vollkommen orientirt, und
wurde, wie uns alte Inschriften(38) belehren, die Orientirung in
festlicher Weise vom Knige unter Beihilfe der Bibliotheksgttin *Safech*
vollzogen, mit den Worten: Ich habe gefasst den Holzpflock und den Stiel
des Schlgels, ich halte den Strick gemeinschaftlich mit der Gttin
*Safech*. Mein Blick folgt dem Gange der Gestirne. Wenn mein Auge an dem
Sternbilde des grossen Bren angekommen ist, und erfllt ist der mir
bestimmte Zeitabschnitt der Zahl der Uhr, so stelle ich auf die Eckpunkte
Deines Gotteshauses.

In welchem Maasse bei diesen Operationen die von *Demokritos* so
hochgestellten *Harpedonapten* oder Seilspanner betheiligt waren, hat
*Cantor*(39) in hchst scharfsinniger Weise zu beleuchten versucht, und es
erscheint auch uns wahrscheinlich, dass sich die alten Aegypter beim
Construiren rechter Winkel sowie beim Fllen von Senkrechten auf dem
Felde, der Thatsache bedienten, dass der eine Winkel in einem, die
Seitenlngen drei, vier und fnf besitzenden Dreiecke, ein rechter Winkel
sein msse. Musste ja doch dieser Satz seit unvordenklichen Zeiten auch
den Chinesen bekannt sein, da wir ihn in der bei ihnen so berhmten
Schrift _Tschiu-pi_ finden, welche mehrere Jahrhunderte v. Chr. G.
entstanden, auf den Kaiser *Tschiu-Kung* also in das Jahr 1100 v. Chr. G.
etwa zurckgefhrt wird.(40) Uebrigens konnten directe Messungsversuche an
diagonalen Linien in den Proportionalmaassstben sowohl zu dem erwhnten
als auch noch zu anderen rechtwinkligen Dreiecken mit rationalen
Seitenlngen gefhrt haben, und scheint uns die Mglichkeit nicht
ausgeschlossen, dass der berhmte und berchtigte Satz des *Pythagoras*
ber die Quadrate der Katheten und der Hypothenuse einer eingehenden
Untersuchung solcher Proportionalmaassstbe entsprungen ist.

Wenn wir nun einerseits behaupten, dass die alten Aegypter nicht nur die
Flche des Kreises, des Quadrates, des Rechteckes, des rechtwinkligen
sowie des schiefen Dreieckes, und unter Zuhilfenahme der Zerlegungen auch
die Flchen beliebiger Polygone theoretisch genau zu bestimmen im Stande
waren, mit Ausnahme der auch fr uns eine solche bildenden Kreisflche, so
muss doch anderseits zugestanden werden, dass man sich bei praktischen
Anwendungen mit Nherungen begngte, welche im Laufe der Zeiten so
ausarteten, dass der Gebrauch falscher Regeln ein allgemeiner wurde.

Am linken Nilufer in der Mitte zwischen *Theben* und *Assuan* liegt
*Edfu*, das alte *Appollinopolis Magna* mit einem stattlichen Tempelbau
aus den Zeiten der Ptolomer. Der Tempel, hauptschlich dem Gotte *Horus*
geweiht, ist mit einer freistehenden Umfassungsmauer umgeben,(41) deren
Ostseite zwischen dem Brunnenthore und dem stlichen Pylonflgel eine
Inschrift trgt, welche uns auf acht Feldern und in hundertvierundsechzig
Columnen(42) eine Schenkungsurkunde des Knigs *Ptolomus XI. Alexander
I.* (mit dem Beinamen *Philometor*) bekannt gibt. Das Geschenk, welches
hier *Horus* und den brigen Gttern von *Edfu* verliehen wird, besteht
aus einer Anzahl von meist viereckigen Aeckern, deren vier Seitenlngen
nebst Flcheninhalten angegeben erscheinen.

Da jeder der vorkommenden Flcheninhalte identisch ist mit dem Producte
der arithmetischen Mittel der beiden Gegenseitenpaare, so wurde nach
*Lepsius* die Vermuthung aufgestellt, die alten Aegypter htten, um
Vierecke bei der Flchenbestimmung annhernd wie Rechtecke behandeln zu
knnen, den Unterschied der Gegenseiten dadurch auszugleichen gesucht,
dass sie die arithmetischen Mittel derselben in Rechnung zogen.

Bei sehr vielen der in der *Edfu*er Schenkungsurkunde vorkommenden
Vierecke ist der Unterschied je zweier Gegenseiten entweder Null oder
verhltnissmssig so klein, dass man den betreffenden Vierecken eine vom
Rechtecke wenig verschiedene Gestalt beilegen kann, und die erhaltenen
Resultate somit eine ziemliche Annherung an den richtigen Flchenwerth
darstellen drften, nach dem man mit Rcksicht auf die bei *Sesostris*
bemerkte Eintheilung des Landes in Rechtecke voraussetzen darf, gerade
diese oder eine ihr zunchst kommende Form der Felder sei die auch damals
schon beliebte gewesen.

Doch kommen auch Vierecke vor, wo der Lngenunterschied der Gegenseiten
ein bemerkenswerther ist; ja es werden auch Dreiecke als Vierecke mit
einer verschwindenden Seite behandelt, so dass der begangene Fehler in
manchen Fllen ein nicht unbedeutender ist.

Nur nebenbei bemerken wir, dass man dieselbe unrichtige Flchenformel fr
das Viereck erhlt, wenn man dasselbe zunchst durch eine Diagonale in
zwei Dreiecke zerlegt, auf jedes dieser Dreiecke die unrichtige
Flchenformel, die den Inhalt als das halbe Product der beiden Seiten
liefert, anwendet, die beiden so erhaltenen Dreiecksflchen addirt und
dann aus dieser Summe und jener, welche man bei dem hnlichen Vorgange
durch Zerlegung mittelst der zweiten Diagonale erhlt, das arithmetische
Mittel construirt.

Nimmt man mit *Eisenlohr* und *Cantor* an, dass die Aegypter die
Dreiecksflche wirklich dem halben Producte zweier Seiten gleichsetzten,
so steht man vor der Frage, warum nicht in derselben Art die Flchen der
in der *Edfu*er Schenkungsurkunde auftretenden Dreiecke bestimmt
erscheinen?

Uebrigens wolle man sich darber nicht wundern, dass es berhaupt mglich
war, die Flchenberechnungen im praktischen Leben nach einer so falschen
Methode durchzufhren. Wissen wir doch, dass im Alterthume, zur Zeit
*Platon*s, einer der gebildetsten Mnner, einer der hervorragendsten
Geschichtschreiber, dass *Thukydides*(43) in seiner Unkenntniss der
Beziehung zwischen Flcheninhalt und Umfang, die Flche einer Insel nach
der zu ihrer Umschiffung nothwendigen Zeit zu bestimmen suchte; in der
Geometrie *Gerbert*'s,(44) des nachmaligen Papstes *Silvester II.* finden
wir, 1000 Jahre nach Chr. G., die Flche eines gleichschenkligen Dreieckes
durch Multiplication des Schenkels mit der halben Basis berechnet, wo doch
schon *Hero von ** Alexandrien*(45) 1100 Jahre frher die richtige Formel
fr diese Berechnung kennt.

Wir berhren diese Thatsachen, und knnten noch eine ganze Reihe hnlicher
Beispiele anfhren, nur um zu zeigen, wie bereilt es wre, aus den oft
nur schwache Annherungen liefernden Berechnungen der *Edfu*er
Schenkungsurkunde schliessen zu wollen, die richtigen Methoden seien den
in die Wissenschaften eingeweihten aegyptischen Priestern nicht bekannt
gewesen.

Doch zurck zum Papyrus *Rhind*.

Wir bergehen die Inhaltsbestimmungen von Fruchthusern, bei denen der
Inhalt durch Multiplication einer Flche mit einer Lnge bestimmt wird,
weil wir es fr mssig halten, Errterungen darber anzustellen, welche
Flchen und Lngen hiebei gemeint sind, so lange uns ber die Form jener
Fruchthuser oder Speicher nichts bekannt ist.

Dagegen erwecken die im Papyrus vorkommenden Pyramiden-Berechnungen das
hchste Interesse, besonders nach den glnzenden Untersuchungen, welchen
*Revillout* diesen Gegenstand unterzogen hat, und deren Resultate wir,
entgegen der von *Eisenlohr* ausgesprochenen und auch von *Lepsius*(46)
acceptirten Ansicht als solche betrachten, welche in einfacher und
natrlicher Weise die sogenannte *Seket*-Rechnung der alten Aegypter
beleuchten.

Es wird in diesen Rechnungen die Bschung der Seitenflchen einer
quadratischen Pyramide dadurch fixirt, dass jener Theil der Lnge eines
der beiden gleichlangen Schenkel des Winkelmaasses berechnet wird, der
sich zur Lnge des anderen Schenkels so verhlt, wie die halbe Lnge der
Basisseite der quadratischen Pyramide zur Hhe derselben.

Zu dem Behufe war der eine der beiden Schenkel des Winkelmaasses in eine
gewisse Anzahl gleich grosser Theile getheilt, whrend der andere
Schenkel, der Pyramidenhhe entsprechend, und als Einheit betrachtet,
ungetheilt blieb.

Um nun den sogenannten *Seket* zu bestimmen, wurde die halbe Lnge der
Basisseite durch die Pyramidenhhe dividirt und mit dem erhaltenen
Quotienten die Anzahl der Theile des horizontalen, getheilten Schenkels
des Winkelmaasses multiplicirt.

Es war somit der Seket (welcher in derselben Art fr einen geraden
Kreiskegel aus dem Durchmesser der Basis und der Hhe bestimmt erscheint)
als Verhltniss aufgefasst, die goniometrische Cotangente des
Neigungswinkels der Seitenflche der Pyramide, respective der Kegelkante
zur Basis.

Wenn wir selbstverstndlich weit davon entfernt sind, hierin vielleicht
Anfnge der Trigonometrie sehen zu wollen, so erkennen wir doch
anderseits, dass den alten Aegyptern auch die Lehre proportionaler Linien,
wenigstens in ihren Anwendungen, bekannt gewesen sein musste, und
erscheint uns auch der am Eingange erwhnte Ausspruch ber die dem
Milesier *Thales* zugeschriebene Hhenmessung der Pyramiden als ein ganz
glaubwrdiger, wenn wir sehen, wie im Papyrus von den drei Werthen: Basis,
Hhe, Seket, jeder aus den beiden anderen berechnet erscheint.

Fassen wir nun die Ergebnisse unserer Betrachtungen zusammen, so mssen
wir aus der quellenmssig erwiesenen grossen Bewunderung, welche die
ausgesprochen geometrisch hochentwickelten Griechen den aegyptischen
Geometern rckhaltlos zollten, wir mssen aus der unanfechtbaren
Thatsache, dass griechische Geometer den Grund zu ihren Kenntnissen und
Entdeckungen in Aegypten suchten und fanden, wir mssen im Hinblicke auf
das, aus der nun vollends entzifferten[42] *Edfu*er Schenkungsurkunde sich
mit Sicherheit ergebende ausgebreitete und fest organisirte Katasterwesen
der alten Aegypter, welches zugleich mit den zahlreichen, dem ffentlichen
Leben dienenden Land- und Wasserbauten auf eine verhltnissmssig
bedeutend entwickelte Vermessungskunde hinweist, wir mssen endlich aus
dem von uns besprochenen Papyrus, der sich als eine ungenaue Abschrift
eines mangelhaften, aus dem dritten Jahrtausend vor Chr. G. stammenden,
mathematischen Collegien- oder Aufgabenheftes erweist, und aus dessen
Vorhandensein sich fast mit Gewissheit auf damals existirende, neben den
Regeln auch ihre Ableitungen enthaltende Lehrbcher schliessen lsst, wir
knnen und mssen aus allen diesen Umstnden den allgemeinen Schluss
ziehen, dass bereits drei Jahrtausende vor unserer Zeitrechnung sowohl die
arithmetischen, als auch die geometrischen Kenntnisse der Aegypter, einen
fr dieses Zeitalter bedeutenden Grad der Entwicklung besassen.

Insbesondere knnen wir in jenen fernen Zeiten eine staunenswerth
weitgehende Annherung bei der Berechnung der Kreisflche beobachten, wir
finden mit vollstndiger Sicherheit richtige Flchenbestimmungen des
Quadrates, Rechteckes und des rechtwinkligen Dreieckes; hchst
wahrscheinlich auch richtige Bestimmungen der Flchen schiefwinkliger
Dreiecke und Vierecke, welche im praktischen Leben durch leichter zu
handhabende Annherungsformeln ersetzt wurden; wir sehen Bestimmungen des
Rauminhaltes durch ihre Dimensionen gegebener Krper und erkennen die
Anfnge der Aehnlichkeitslehre.

Was das geometrische Zeichnen betrifft, so kennen wir schon die
Construction der frher beobachteten regelmssigen Figuren und drfen
weiter vermuthen, dass die Anlegung rechter Winkel und das Fllen von
Senkrechten sowohl mittelst des Winkelmaasses als auch mittelst rationaler
rechtwinkliger Dreiecke bekannt, und die Zerlegung gegebener Flchen
behufs ihrer Inhaltbestimmung in allgemeiner Verwendung war.

Gewiss werden auch theoretische Resultate bekannt gewesen sein; so die
Hlftung des Kreises durch seinen Durchmesser, die sich aus der
besprochenen Seketrechnung von selbst ergebende Winkelgleichheit an der
Basis gleichschenkliger Dreiecke und gleichseitiger quadratischer
Pyramiden, und wohl noch manches Andere.

Mge es gelingen, durch Auffindung neuer, sowie durch Entzifferung der,
noch ihrer Erklrung harrenden Denkmale und Schriften, von welchen
letzteren, Dank der hohen Munificenz des Erlauchten Curators unserer
Akademie, auch Wien eine imposante Zahl aufweisen kann, mge es so
gelingen noch weitere Anhaltspunkte fr die Kenntniss der mathematischen
Thtigkeit des uns bekannten ltesten Culturvolkes, der Aegypter zu
gewinnen!

Diesen unseren Wunsch theilen gewiss Alle, denen die Erforschung der
Culturgeschichte des menschlichen Geschlechtes nicht ohne Wichtigkeit
erscheint!





    1 HERODOT, _Reisebericht_, II, 109.

    2 ISOKRATES, _Busiris_, c. 9.

_    3 Platonis__ Phaedrus_, ed. Ast. I. p. 246.

    4 ARISTOTELES, _Metaph. I_, 1.

    5 DIODOR, I, 69.

    6 Herodot l. c.

_    7 Heronis Alexandr.__ geom. et stereom. reliquiae_, ed. Hultsch. p.
      138.

    8 DIODOR,  I, 81.

    9 STRABON, ed. Meinike, lib. XVII, C. 787, p. 1098.

_   10 Eudemi Rhodii__ Peripatetici fragmenta quae supersunt_. ed. L.
      Spengel. Berlin 1870.

_   11 Procl.__ comment._ ed. Rasil. p. 19; _Barocius_ p. 37.

   12 ISOKRATES, _Busiris_, cap. 11.

   13 STRABON, XIV, 1. 16.

   14 PORPHYRIUS, _De vita Pythagorae_ cap. 7; DIOGENES LAERTIUS, VIII, 3.

   15 DIODOR, I, c. 96.

   16 PROKLOS, ed. Friedlein, 250, 299, 352, 157.

   17 DIOGENES LAERTIUS, I, 27. PLINIUS, _Hist. nat._ XXXVI, 12, 17.

   18 PLUTARCH, ed. Didot. Vol. 2, III, p. 174.

   19 DIOGENES LAERTIUS I, 24--25.

   20 MONTUCLA, _Hist. d. math._ 2. dit. t. I, p. 49.

   21 BRETSCHNEIDER, _Die Geometrie und die Geometer vor Euklides_, p. 11.
      Dem Werke Bretschneiders, sowie jenem CANTOR's: _Vorlesungen ber
      Geschichte der Mathematik_, sind die grundlegenden Gedanken
      entnommen.

   22 CLEMENS ALEXANDRINUS, _Stromata_, ed. Potter, I, 357.

   23 THEON SMYRNAIOS, _lib. de astron._ ed. Martin, p. 272.

   24 PRISSE D'AVENNES, _Hist. de l'art Egypt. d'aprs les monuments._

   25 WILKINSON, _Manners and customs of the ancient Egyptians_, III, p.
      313.

   26 CICERO, _De finibus bonorum ed malorum_ I, 6, 20.

   27 DIOGENES LAERTIUS IX, 47.

   28 CANTOR, _Vorlesungen ber Geschichte der Mathematik_, I, p. 144--159
      (Leipzig 1880).

   29 EISENLOHR, _Ein math. Handbuch der alten Aegypter_. Leipzig 1877.

   30 BIRCH, in Lepsius' _Zeitschrift fr gypt. Sprache und Alterthum_,
      1868, p. 108.

   31 LEPSIUS, _gypt. Zeitschrift_, 1871, p. 63.

   32 REVILLOUT, EUGNE, _Revue Egyptologique_, 1881, Nr. II et III, p.
      304.

   33 EISENLOHR, _Ein math. Handbuch der alten Aegypter_. Nr. 64.

   34 ibid. Nr. 79.

   35 ibid. p. 125.

   36 CANTOR, _Vorlesungen aus der Geschichte der Mathematik_, I, p. 49.

   37 WILKINSON, _Manners and customs u. s. w._ III., p. 144.

   38 BRUGSCH, _Ueber Bau und Maasse des Tempels von __Edfu_ (_Zeitschrift
      fr gypt. Sprache u. Alterth._ Bd. VIII.)

   39 CANTOR, _Vorlesungen u. s. w._ I, p. 55.

   40 D. BIOT, _Journal Asiatique_, Paris 1841, I. Sem. p. 593.

   41 LEPSIUS, _Ueber eine hieroglyphische Inschrift am Tempel von
      __Edfu_. _Abhandlung d. Acad. d. Wiss. in Berlin_, 1855, p. 69.

   42 BRUGSCH, _Thesaurus III_, Leipzig 1884.

   43 THUKYDIDES, ed. Rothe, VI. 1.

   44 ed. Olleris, Cap. LXX. p. 460.

_   45 Heronis Alexandrini__ geometricorum et stereometricorum reliquiae_
      (ed. Hultsch, Berlin 1864).

   46 LEPSIUS, _Ueber die 6palmige grosse Elle von 7 kleinen Palmen Lnge
      in dem math. Handbuche von Eisenlohr_. (_Zeitschrift f. g. Sp._
      1884. 1. Heft.)






***END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK UEBER DIE GEOMETRIE DER ALTEN AEGYPTER.***



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March 13, 2008

            Project Gutenberg TEI edition 01
      *      R. Stephan*



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    Chief Executive and Director
    gbnewby@pglaf.org


Section 4.


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